Mocniny a odmocniny s deviatakmi

S mocninami a odmocninami sme sa už v akýchsi náznakoch začali postupne stretávať v geometrii pri výpočte obsahu, povrchu či objemu od piateho ročníka. Veď centimetre štvorcové či decimetre kubické už poznáme aj z biológie, fyziky a chémie. Používali sme však väčšinou prirodzené čísla. Tentokrát zoberieme mocniny a odmocniny hlbšie. Pridáme si trochu teórie, ktorú budeme aplikovať aj na desatinných číslach a zlomkoch.

Mocniny

Súčet rovnakých čísel má rovnakú hodnotu ako súčin opakujúceho sa čísla a počtu opakovaní

5 + 5 = 5 . 2 = 10 alebo 2 + 2 + 2 + 2 = 2 . 4 = 8 alebo 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 . 6 = 18

Súčin rovnakých čísel má rovnakú hodnotu môžeme zapísať takto

5 . 5 = 5² = 25 alebo 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴ = 16 alebo 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 3⁶ = 729

Odporúčame videá

základ mocniny, exponent https://www.youtube.com/watch?v=htkIy8Mktnw&pp=wgIECgIIAQ%3D%3D

mocniny čísel, končiacich na nulu a desatinných čísel https://www.youtube.com/watch?v=nSXQCosIx7M&pp=wgIECgIIAQ%3D%3D

mocniny zlomkov https://www.youtube.com/watch?v=6uqGw7hmk7o

Odporúčame videá

https://www.youtube.com/watch?v=gLOnyU4ANRE&list=PLFmO2IDrVOE6CfSKUAW9sVwNgy8JZ-iA_

https://www.youtube.com/watch?v=ONOKV6utRAY&list=PLFmO2IDrVOE6CfSKUAW9sVwNgy8JZ-iA_&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=zyWgTXr2_E8&list=PLFmO2IDrVOE6CfSKUAW9sVwNgy8JZ-iA_&index=3

https://www.youtube.com/watch?v=-_uB0jR0mI4&list=PLFmO2IDrVOE6CfSKUAW9sVwNgy8JZ-iA_&index=4

Slovné úlohy (nezabudnite urobiť jednoduchý zápis, farebný náčrt, zapíšte vzorec pre výpočet pomocou mocnín a po výpočte odpoveď)

1. Vypočítajte obsah štvorca s dĺžkou strany 6 cm.

2. Vypočítajte obsah štvorca s dĺžkou uhlopriečky 7 cm.

3. Vypočítajte povrch a objem kocky s dĺžkou hrany 4 cm.

4. Vypočítajte obsah obrazca zloženého z troch zhodných štvorcov s dĺžkou strany 3 cm, ktoré sme spojili celými stranami do obdĺžnika.

5. Vypočítajte povrch a objem stavby, ktorú sme zložili z dvoch rovnakých kociek s dĺžkou hrany 5 cm tak, že kocky sme postavili na seba a dotýkajú sa celými stenami.

6. Položíme si osem zhodných kociek s dĺžkou hrany 4,5 cm tak, aby vytvorili väčšiu kocku. Vypočítajte objem a povrch novovytvorenej kocky.

7. Položíme si deväť zhodných štvorcov s dĺžkou strany 3,5 cm tak, aby vytvorili väčší štvorec. Vypočítajte obvod a obsah novovytvoreného štvorca.

Zápis veľkých a malých čísel

10 000 = 10⁴ alebo 100 000 = 10⁵

Na internete ste počas hľadania údajov napríklad pri vzdialenostiach vo vesmíre našli čísla zapísané pomocou mocnín. Teda vo vyjadrení A . 10ⁿ pričom 1<A<10. Veď kto by čítal ten veľký počet núl.

12 000 = 1,2 . 10 000 = 1,2 . 10⁴ alebo 560 = 5,6 . 100 = 5,6 . 10²

49 000 =

234 000 =

870 000 =

2 780 000 =

1 009 000 =

Vo výpočtovej technike používame vyjadrenie v tvare A . 10ⁿ pričom 0<A<1.

12 000 = 0,12 . 100 000 = 0,12 . 10⁵ alebo 560 = 0,56 . 1 000 = 0,56 . 10³

49 000 =

234 000 =

870 000 =

2 780 000 =

1 009 000 =

0,01 = 10^-2 alebo 0,00001 = 10^-5

Podobné vyjadrenie máme aj pre naopak - veľmi malé čísla.

0,004 5 = 4,5 . 0,001 = 4,5 . 10^-3 alebo 0,003 05 = 3,05 . 0,000 1 = 3,05 . 10^-4

0,34 =

0,001 2 =

0,000 52 =

0,000 000 45 =

0,000 000 000 013 =

Desiatkový pozičný rozklad

Ešte si spomínate na desiatkový rozklad čísla: 235,067 = 2 . 100 + 3 . 10 + 5 . 1 + 0 . 0,1 + 6 . 0,01 + 7 . 0,001

Podľa zápisu mocnín, ktorý sme si doteraz ukázali, môžeme tento rozklad napísať aj takto: 235,067 = 2 . 10² +3 . 10¹ + 5 . 10⁰ + 0 . 10^-1 + 6 . 10^-2 + 7 . 10^-3

34,8 =

806,89 =

200 670,08 =

451 =

2,0078 =

Odmocniny

Odporúčame videá

https://www.youtube.com/watch?v=mcnXB_qKjuc

https://www.youtube.com/watch?v=OTIKqsfa7RM

Slovné úlohy (nezabudnite urobiť jednoduchý zápis, farebný náčrt, zapíšte vzorec pre výpočet pomocou mocnín a po výpočte odpoveď)

1. Vypočítajte dĺžku strany štvorca, ktorého obsah je 81 cm².

2. Vypočítajte dĺžku strany štvorca s dĺžkou uhlopriečky 9 cm.

3. Vypočítajte dĺžku hrany kocky, ktorej objem je 81 cm³.

4. Vypočítajte dĺžku hrany kocky a jej povrch, ak jej objem je 64 cm³.

5. Vypočítajte dĺžku hrany kocky, ktorej povrch je 150 cm².

6. Vypočítajte dĺžku hrany kocky a jej objem, ak jej povrch je 249 cm².

7. Položili sme si na seba tri kocky, vytvorili sme vežu, kde sa kocky dotýkajú celými stenami. Objem tohto telesa je 192 dm³. Vypočítajte dĺžku hrany kocky v decimetroch.

8. Položili sme si vedľa seba tri kocky, vytvorili sme hada, kde sa kocky dotýkajú celými stenami. Povrch tohto telesa je 648 dm². Vypočítajte dĺžku hrany kocky v decimetroch.

9. Položíme si štyri zhodné štvorce tak, aby vytvorili zase štvorec. Obsah novovzniknutého štvorca je 64 cm². Vypočítajte dĺžku strany menšieho štvorca.

10. Položíme si štyri zhodné štvorce tak, aby vytvorili zase štvorec. Obvod novovzniknutého štvorca je 128 cm. Vypočítajte dĺžku strany menšieho štvorca.

Príklady na docvičenie nájdete aj na našej stránke https://www.dobre-napady.sk/pre-skolakov/hrame-sa-s-cislami/category/62-ciselne-vyrazy