Pravdepodobnosť u ôsmakov

Historickým zdrojom úvah o pravdepodobnosti boli na konci 16. storočia a v 17. storočí problémy hazardných hier. Neskôr poistenie lodí pri zámorských cestách, poistenie domov (zámkov a kaštieľov) a ešte neskôr životné poistky...  V minulosti sa predloženie a riešenie niektorých úloh veľmi často stalo základom dôležitých matematických vedeckých riešení. Tak sa vzrušujúce problémy hazardných hier stali jedným z podnetov vytvorenia novej, veľmi dôležitej matematickej vedy Teórie pravdepodobnosti.

Opakujeme zápisy čísel

prepis percent na desatinné čísla a zlomky

4 % = 0,04 = 4/100    štyri stotiny

10 % =

16 % =

45 % =

2,5 % =

vykrátenie pomeru na základný tvar

15 : 20 = 3 : 4

20 : 50 =

40 : 100 =

25 : 1 000 =

90 : 180 =

 

Projekt 1

Prichystajte si 2-eurovú mincu. Do zošita si urobte tabuľku podľa obrázka.

  číslo znak
záznam    
počet    
relatívna početnosť    

Budeme hádzať mincou z rovnakej polohy na približne rovnaké miesto 100-krát. Potom si určíme relatívnu početnosť padnutia čísla a znaku na minci.

Projekt 2

Prichystajte si hraciu kocku. Do zošita si urobte tabuľku podľa obrázka.

  číslo 1 číslo 2 číslo 3 číslo 4 číslo 5 číslo 6
záznam            
počet            
relatívna početnosť            

Budeme hádzať kockou z rovnakej polohy na približne rovnaké miesto 100-krát. Potom si určíme relatívnu početnosť padnutia čísel na hracej kocke.

Čo je to relatívna početnosť? Je to pomer alebo vzťah určený pomerom, zlomkom či percentami nejakej udalosti voči celku. Napríklad koľkokrát v projekte 2 padla šestka v pomere ku počtu všetkých hodov.

Čo je to absolútna početnosť? Je to presne daný počet. Napríklad presne koľkokrát padla šestka zo sto hodov v projekte 2. Alebo koľkokrát padol znak v projekte 1.

Projekt 3

Prichystajte si tabuľku. Zaznamenajte do nej všetkých zo svojej triedy podľa toho v akom mesiaci sa narodili (majú meniny).

  január február marec apríl máj jún júl august september október november december
záznam                        
počet                        
relatívna početnosť                        
relatívna početnosť v %                        

 

Čo je to pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť (označenie je P) je hodnota vyčísľujúca istotu alebo neistotu výskytu určitej udalosti. Inak povedané: je to pomer počtu pravdivých udalostí ku počtu všetkých možných udalostí, ktoré môžu nastať.
Napr.: pravdepodobnosť že učiteľ vyvolá jedného konkrétneho žiaka (napr. Juraja) z desiatich (Juraj, Anna, Peter, Kamil, Danko, Dano, Zuzana, Zita, Oliver, Tina) je jedna ku desiatim (značí sa 1 : 10 alebo v tvare zlomku 1/10).

Pravdepodobnosť skúma teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnostnú hodnotu nadobúdajú náhodné premenné.

Pravdepodobnosť = podiel Počet relevantných prípadov a Počet všetkých možných prípadov. Inými slovami: Podiel počtu situácií, v ktorých sa stane to čo nás zaujíma, ku súčte počtu možných situácií, v ktorých sa stane to čo nás zaujíma.

Táto definícia hovorí, že pravdepodobnosť je číslo medzi 0 a 1, ktoré je mierou nášho presvedčenia o realizácii nejakého javu alebo presvedčenia o pravdivosti nejakého tvrdenia. Ak je jej hodnota bližšie k 0, udalosť je málo pravdepodobná. Ak sa hodnota približuje k číslu 1, potom je hodnota vysoko pravdepodobná.

Istý jav - je taký jav, ktorý ako výsledok daného pokusu nastane vždy... P = 1

Nemožný jav - je taký jav, ktorý ako výsledok pokusu nemôže nastať nikdy... P= 0

Pravdepodobný jav - je taký jav, ktorý ako výsledok môže aj nemusí nastať ... P ∈ 〈0 až 1〉 Hodnotu pravdepodobnosti vyjadrujeme v tvare pomeru 1 : 10 alebo v tvare zlomku 1/10 alebo v tvare percent (1/10) . 100 = 10 %.

 

Označte, či ide o istý jav alebo náhodný alebo nemožný a zapíšte akú má hodnotu P tohto javu.

Každý deň vychádza slnko.             riešenie: Jav je istý.  P = 1

Predtým ako dovŕšim 15 rokov, dostanem vodičský preukaz .                 riešenie: Jav je nemožný.  P = 0

Dnes bude Majo odpovedať z biológie.                  riešenie: Jav je náhodný, lebo nevieme povedať, či je v ten deň v škole biológia, či Majo je v škole, či učiteľ skúša... P ∈〈0,1〉

Po utorku príde pondelok.

Voda sa po zohriatí mení na paru.

Ak vydelíme číslo 54 tromu dostaneme zvyšok nula.

8.A vyhrá v tomto školskom roku v zbere papiera.

Číslo 41 je prvočíslo.

Magnet priťauje železné predmety.

Zajtra nebude pršať.

Včera mala Zuzka narodeniny.

Peter má meniny v júni.

V potravinách mi vydali 40-centovú mincu.

 

Odporúčame video: https://www.youtube.com/watch?v=R-OPvU9cZqI   

 

V ovocnom sade rastie 12 hrušiek, 17 jabloní a 11 čerešní. Aká je relatívna početnosť jednotlivých druhov ovocia v tomto sade v zlomku?    Čerešní 11/(12 + 17 +11), jabloní 17/(12 + 17 +11) a hrušiek 12/(12 + 17 +11).

Pravdepodobnosť že vytiahneme spomedzi 15 žetónov s číslami 1...15 práve žetón s číslom 10 je 1 : 15. Prečo? Vyťahujeme 1 žetón z 15. 
Pravdepodobnosť že vytiahneme spomedzi 15 žetónov s číslami 1...15 práve žetón s číslom 10 alebo 15 je 2 : 15. Prečo? Vyťahujeme 2 žetóny z 15. 

Pri hode kockou môže padnúť číslo 1 alebo 2 alebo 3 alebo 4 alebo 5 alebo 6. Pravdepodobnosť, že padne číslo menšie ako 3 je 2 : 6 = 1 : 3 = 0,333... približne  33 %. Prečo? Lebo menšie čísla ako 3 sú dve (1 a 2), preto môžu padnúť dve čísla zo šiestich, aby sme splnili našu podmienku. 

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne nepárne číslo? Pravdepodobnosť tejto situácie je 3 : 6 = 1 : 2 = 0,5 = 50 %. Prečo? Počet nepárnych čísel, ktoré sú na kocke je 3 (1 alebo 3 alebo 5) a počet všetkých čísel na kocke je 6. 

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne číslo deliteľné dvomi alebo tromi? Čísla deliteľné dvomi sú 2, 4, 6. Čísla deliteľné tromi sú 3 a 6. Čísel, ktoré sú deliteľné dvomi alebo tromi je 4. Všetkých možností, ktoré môžu padnúť je 6. Pravdepodobnosť padnutia čísla deliteľného dvomi alebo tromi pri hode hracou kockou je 4 : 6 = 2 : 3 = 0,66666... približne 66 %. 

Hodíme mincou dvakrát za sebou. Aká je pravdepodobnosť, že oba razy padlo číslo? Nás zaujíma teda jedna možnosť CC zo štyroch všetkých možných (CZ, ZZ, ZC, CC). Preto P = 1 : 4 = 0,25 = 25 %. 

Vo vrecúšku máme 3 biele a 2 červené guličky. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahneme jednu červenú guličku? P = 2 : 5 = 2/5 = 0,4 = 40 %. Prečo? Červených máme 2 kusy a všetkých možností je celkovo 5. 

Peter má na FB 150 priateľov, z toho 27 spolužiakov. Aká je pravdepodobnosť, že po otvorení svojho FB príde Petrovi správa od spolužiaka?  P = 27/150 = 0,18 = 18 %. Prečo? Počet spolužiakov je 27 zo všetkých priateľov 150.

Na škole učia piati francúzski lektori a jeden španielski. Aká je pravdepodobnosť, že keď jedného z nich stretneš na schodoch, je to španielsky lektor?  P = 1/6 Lebo jeden lektor zo 6 možných.

V septembri pršalo 12 dní. Aká je pravdepodobnosť, že pršalo aj 17. septembra?   P = 12/30 = 2/5 = 0,4 = 40 %   Lepo robíme podiel možných dní ku všetkým dňom a tých je v septembri 30.

 

Skúste vypočítať, možno aj pomocou vyhľadania riešenia na internete

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne číslo väčšie ako 4?  (33 %)

Janko napísal ľubovoľné číslo od 1 do 20. Aká je pravdepodobnosť, že napísal prvočíslo?   (40 %)

V školskom bufete má teta aj desať druhov zákuskov. Aká je pravdepodobnosť, že si vyberiem dva rovnaké zákusky? (10 %)

V skautskom oddieli je 6 chlapcov a 9 dievčat. Aká je pravdepodobnosť, že jeden vybraný člen je chlapec? (40 %)

Jeden zo spolužiakov dochádza do školy každé ráno autobusom. Raz sa vyjadril: "Dvakrát za týždeň autobus mešká." V pondelok prišiel spolužiak neskoro. Aká bola pravdepodobnosť, že v utorok príde tiež neskoro? (25 %)

Aká je pravdepodobnosť udalosti, že ak hodíme hracou kockou padne číslo menšie ako 7?

Dnes nemá domacu úlohu pätina z 30 žiakov. Aka je pravdepodobnosť, že učiteľ pri kontrole náhodne vyberie žiaka bez domácej úlohy?

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne párne prvočíslo?

Minulý rok sa zistilo, že pravdepodobnosť narodenia chlapca je 51,5 %. Aká je pravdepodobnosť narodenia dievčata v percentách podľa tejto štatistiky?

Pravdepodobnosť výhry pripadajúcej na 160 lístkov je jedna osmina. Koľko lístkov nevyhráva?

 

Riešime príklady

1. Z osemnástich kartičiek očíslovaných 1 - 13 vytiahneme náhodne jednu kartičku. Aká je pravdepodobnosť, že na vytiahnutej kartičke bude:

a) párne číslo
b) číslo deliteľné 3
c) prvočíslo
d) deliteľné 6

riešenie:

a) párne čísla sú: 2, 4, 6, 8, 10, 12 - je ich spolu 6 a počet všetkých čísel na kartičkách je 13, preto pravdepodobnosť vytiahnutia párneho čísla v tomto príklade bude P = 6 : 13 = 6/13  (nezabudnite vždy, ak sa to dá, upraviť pomer alebo zlomok na základný tvar)

b) čísla deliteľné tromi sú: 3, 6, 9, 12 - sú spolu 4 a počet všetkých čísel na kartičkách je 13, preto pravdepodobnosť vytiahnutia čísla deliteľného tromi v tomto príklade bude P = 4 : 13 = 4/13  (nezabudnite vždy, ak sa to dá, upraviť pomer alebo zlomok na základný tvar)

c) párne čísla sú: 2, 3, 5, 7, 11, 13 - je ich spolu 6 a počet všetkých čísel na kartičkách je 13, preto pravdepodobnosť vytiahnutia prvočísla v tomto príklade bude P = 6 : 13 = 6/13  (nezabudnite vždy, ak sa to dá, upraviť pomer alebo zlomok na základný tvar)

d) čísla deliteľné šiestimi sú: 6, 12 - sú spolu 2 a počet všetkých čísel na kartičkách je 13, preto pravdepodobnosť vytiahnutia čísla deliteľného šiestimi v tomto príklade bude P = 2 : 13 = 2/13  (nezabudnite vždy, ak sa to dá, upraviť pomer alebo zlomok na základný tvar)

2.  Aká je pravdepodobnosť že pri hode dvoma kockami rôznej farby (zelenej a žltej) padne:

a) súčet 6
b) súčet, ktorý je deliteľný šiestimi

riešenie: a) všetkých možností, ktoré môžu padnúť pri hode dvomi rôznofarebnými kockami je  6 . 6 = 36  a počet možností, ktorých súčet je 6 je  5.

zelená 3 2 4 5 1
žltá 3 4 2 1 5

 Pravdepodobnosť padnutia čísel, ktorých súčet je 6 pri hode dvomi kockami je P = 5 : 36.

riešenie: b) všetkých možností, ktoré môžu padnúť pri hode dvomi rôznofarebnými kockami je  6 . 6 = 36  a počet možností, ktorých súčet je deliteľný 6 je  6.

zelená 3 2 4 5 1 6
žltá 3 4 2 1 5 6

 Pravdepodobnosť padnutia čísel, ktorých súčet je deliteľný 6 pri hode dvomi kockami je P = 6 : 36 = 1 : 6.

3. Zo zásuvky, v ktorej je 10 kried a 3 z nich sú modré, vyberieme 5 kried. Aká je pravdepodobnosť, že práve 2 z nich budú modré?  

riešenie:  Všetkých možností ako môžem vybrať 5 kried z desiatich v zásuvke je 252.
Vyberáme 5 kried = 3 nejaké iné ako modré + 2 budú určite modré.
3 nejaké iné ako modré vyberáme zo 7 kried v zásuvke, teda máme 35 možností. 
2 modré kriedy vyberáme z 3 modrých v zásuvke, teda máme 3 možnosti. Všetkých možností, ktoré spĺňali našu podmienku je 5 . 35 = 105
Pravdepodobnosť, že vytiahneme zo zásuvky 5 kried a z toho práve 2 budú modré je P = 105 : 252 = 35 : 84 = 5 : 12. 

4. Vo vrecúšku sú 4 biele a 3 modré guličky. Náhodne vyberieme 2 guličky. Aká je pravdepodobnosť, že

a) obe budú biele? 

b) obe budú červené? 

riešenie: a)  Ak vyberieme z vrecúška 2 guličky a nebudeme pozerať na ich farbu, máme 21 možností. 2 biele guličky vyberáme z 3, preto máme 3 možností. Pravdepodobnosť vybratia dvoch bielych guličiek v našej úlohe je P = 3 : 21 = 1 : 7.

riešenie: b)  Vo vrecúšku máme biele a modré guličky. Nie sú tam červené, preto ich nemôžeme vytiahnúť. P = 0. Udalosť je nemožná.

5. Vypočítaj pravdepodobnosť, že pri náhodnom prehrávaní skladieb A, B, C, D v "džuboxe" sa prehrajú tieto skladby v poradí D, C, B, A?  Všetkých možností v akom poradí sa môžu prehrať skladby je 24. A to naše poradie je jedno, preto je pravdepodobnosť prehratia skladieb P = 1 : 24 = 0,04166... = približne 4.2 %.

 

Skúste vypočítať, možno aj pomocou vyhľadania riešenia na internete

Oslovte svoju skupinu priateľov na sociálnych sieťach. Pravdepodobnosť a štatistika sa dnes používa veľmi často. Veď aj v TV pred akýmikoľvek voľbami hovoria o pravdepodobnom a menej pravdepodobnom víťazovi. Naozaj rozumieme čo je pravdepodobnosť?

Aká je pravdepodobnosť, že vo vytvorenej trojici, ktorú tvoríme z 19 chlapcov a 12 dievčat, budú:
a) samí chlapci   (21,6 %)
b) samé dievčatá    (4,9 %)

Z 32 hracích kariet vyberáme 7. Aká je pravdepodobnosť toho, že medzi nimi budú tri srdcia?   (17,7 %)

Máme prirodzené čísla 3, 4, 6, 10, 12. Vypočítaj pravdepodobnosť, že súčet náhodne vybraných troch rôznych čísel je menší ako 20.    (40 %)

Do 8.X triedy bolo v septembri zapísaných 29 žiakov, z toho 13 dievčat. V januári jedno dievča odišlo na inú školu a prišli dvaja chlapci. Aká je pravdepodobnosť, že vo februári do triedy 8.X ako prvé vkročí dievča? (40 %|

V klobúku je 10 červených, 6 modrých a 8 zelených guličiek. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybratá gulička je modrá alebo červená?

V kvetinárstve mali 20 ruží, 40 margariét a 25 gerbier. 
a) Aká je pravdepodobnosť, že najbližší zákazník si kúpi ružu? 
b) Aká je pravdepodobnosť, že najbližší zákazník si kúpi tri ruže?    

Učireľka urobila pre žiakov test s piatimi otázkami, kde si mohli žiaci vyberať vždy zo štyroch odpovedí jednu správnu. Aká je pravdepodobnosť, že žiak natipuje všetko správne?

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode dvomi kockami padne práve 1 šestka?

Danka má v skrini zelenú, modrú a čiernu sukňu, bielu, fialovú, modrú a žltú blúzku. Aká je pravdepodobnosť, že si Danka oblečie fialovú blúzku s čiernou sukňou?

Hádžeme dvomi rovnakými hracími kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčin padnutých čísel bude
a) menší ako 39?
b) väčší ako 36?
c) mať hodnotu 6?

Zábudlivý otecko chce zavolať do školy triednej učiteľke svojho syna. Vie, že je určite v škole od 8:00 do 15:00. Aká je pravdepodobnosť, že otecko zavolá pani učiteľke cez prestávku? (Pozrite si na nástenke v triede alebo na internetovej stránke školy aké máte v škole prestávky a v akom čase. Riaďte sa potom pri výpočte týmito údajmi.)

 

Ak ste prišli až sem, mali ste prísť na to, že súčet pravdepodobností dvoch navzájom opačných javov je 100 %, alebo pri vyjadrení zlomkami alebo desatinnými číslami, 1.

 

Projekt 4

S jednou triedou som už robila túto aktivitu na konci šiestej triedy, keďže druhé dve išli na výlet.  https://www.skolske.sk/clanok/49162/statistika-so-siedmakmi

Kedysi som to robievala so siedmakmi na informatike priamo v exceli a okrem opakovania sme si ukázali aj iné, čo bežne ani dospelí nevedia. Proste to nikdy nepotrebovali. Či moji žiaci budú? Možno, to ukáže kam ich zaveje budúcnosť. 

  

Do excelu na učiteľskom počítači si urobíme tabuľku. Každé dieťa si odmeria, čo potrebuje vyplniť do údajov a nahodí do tabuľky. Táto aktivita je zvyčajne tá najdlhšia. Zároveň však najzábavnejšia.

  meno pohlavie rok narodenia výška (cm) hmotnosť (kg) obvod hlavy (cm) obvod krku (cm) dĺžka predlaktia (cm) čírka palca (cm) dĺžka ruky (cm) dĺžka nohy (cm)
                       
počet vyplnených                      
počet nevyplnených                      
položka je štatisticky relevantná, ak vyplnilo viac ako 80 %                      
počet dievčat                      
priemer dievčatá                      
počet chlapcov                      
priemer chlapcov                      
počet celkovo                      
priemer celkovo                      

Prichádzame k druhej časti. Spracovanie vytvoreného súboru, ktorý má zvyčajne viac ako 30 riadkov, lebo ak učím v jednom ročníku viac tried, chcem, aby písali do jednej tabuľky. Deti by mali pochopiť, že výsledky sú presnejšie, čím je viac položiek v štatistickom súbore. Spomíname si alebo sa učíme na novo ako pracovať s funkciami a vytvorenie vzorcov v exceli. Či napríklad ako sa robia zarážky alebo iné zobrazenia tabuľky na menšom monitore tak, aby sa nemýlili pri prezeraní riadkov či stĺpcov.

Nakoniec je naozaj vhodné sa aj s deťmi naučiť pekne naformátovať tabuľku aj pre vytlačenie, vytlačiť a dokonca ich ju aj nechať zlepiť. To posledné je zase kritický bod. Aspoň z mojich skúseností. Hlavne kvôli menším zručnostiam detí v orientácii a prácou s lepiacou páskou.

 

Tím, čo chcú ísť na bilingválne školy, dporúčame pozrieť videá

https://www.youtube.com/watch?v=NrP01BTQNoU   

https://www.youtube.com/watch?v=cN6HQiK6xMM 

Skúste si zopakovať na teste    https://www.skolske.sk/clanok/53439/kombinatorika 

Hľadať

Kalendár udalostí

pon uto str štv pia sob ned
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Odkazovač

silbod

Marginean Camelia, aké pracovné listy by ste potrebovali?

19/09/2020 - 09:09
Marginean Camelia

Chcela by som pracovné listy.

19/09/2020 - 04:48
Marginean Camelia

Chcela som pracovné listy. Dakujem!

19/09/2020 - 04:47
silbod

Iveta, pracovné listy si môžete stiahnúť po prihlásení sa. Môžete ich používať na nekomerčné účely. A nesmiete odstraňovať logo.

11/09/2020 - 14:18
Iveta

Dobrý deň,
prosím Vás je možne si stiahnut listy pre deti?

11/09/2020 - 11:41 1
silbod

Pani lacova.m nálepky máme tu https://www.dobre-napady.sk/pre-domacnost/etikety-nalepky Zatiaľ to boli na lekváre, darčeky alebo zošity.

18/06/2020 - 14:09 1
lacova.m

hladam nalepku baza

18/06/2020 - 13:55
silbod

Petra, napíšte na Táto e-mailová adresa je chránená pred spamovacími robotmi. Na jej zobrazenie potrebujete mať nainštalovaný JavaScript., cez odkazovač sa to nedá riešiť... U nás nie je podmienka byť pracovníkom školy.

14/05/2020 - 14:48 1
Petra

Dobrý deň. Zaregistrovala som sa ako súkromná osoba. Bez školy. Chcela som pracovné listy. Prišiel mail na aktiváciu, ale nejde mi to.
Petra

14/05/2020 - 11:28
silbod

Vanda, musíte si nájsť na konkrétnom náhľade prac.listu vpravo dolu zelenú šípku a na ňu kliknúť. Pracovný list sa Vám vo formáte JPG alebo PNG. Potom yvtlačíte.

06/05/2020 - 13:02

Zrušiť

Výstavy

Žiadne nadchádzajúce udalosti na zobrazenie!

Partneri